Convexité en terminale
Points forts
- Appréhender la notion de convexité en une heure en s'appuyant sur des données économiques ou géographiques
- de "la position relative" à "la dérivée seconde"
Mots clés
- Fonction convexe, concave sur un intervalle
- Point d'inflexion d'une courbe
- croissance ralentie, accélérée ...
- tangente
Déroulement et documents
Les élèves (32) sont répartis en groupes de 4 élèves (2 groupes A, 2 groupes B, 2 groupes C, 2 groupes D).
La séance d'une heure et demie est scindée en 2 phases.
Première phase (20 minutes)
Les élèves désignés par la même lettre reçoivent le même document : une information spécifique et des consignes de travail.
Les groupes A et B (respectivement C et D) travaillent sur la notion de fonction convexe (respectivement concave) d'un point de vue graphique ou algébrique et donc avec des définitions différentes.
Deuxième phase (60 minutes)
De nouveaux groupes de 4 élèves sont formés avec un expert de chacune des parties (A, B, C, D).
Les élèves n'ont pas leurs notes issues de la première phase.
Les élèves ont alors environ 5 minutes pour restituer par écrit les définitions qu'ils ont apprises dans la phase 1.
Ils travaillent ensuite l'activité de la phase 2.
Travaux d'élèves et synthèse en classe
Au début de la phase 2, les différents experts restituent et échangent au niveau des définitions. Ils font des dessins pour comprendre les deux définitions pour chaque cas.
Dans la phase 1, l'activité a privilégié le sens et donc les définitions ont été illustrées dans le cas de fonctions croissantes. Le cas d'une fonction décroissante à dérivée croissante donc d'une fonction convexe pose questions.
L'activité de la phase 2 permet de travailler la notion de convexité d'un point de vue non plus graphique mais algébrique en exploitant les variations de la dérivée.
Les élèves déterminent l'expression de la dérivée et calculent au départ le discriminant du trinôme cherchant à déterminer le signe de cette dérivée....
Quelques groupes entament le calcul de la dérivée de la dérivée ...
Phase 2 question b) : un dialogue dans un groupe
L et E : il faut calculer la dérivée.
La dérivée est calculée et Lou pose les multiplications comme en primaire : 24400 x2 et 2900x3. La deuxième multiplication prend un peu de temps car les élèves ne savent plus comment utiliser les retenues. Finalement ils prennent leurs calculatrices pour vérifier.
E : faire un tableau pour voir si elle est croissante ou décroissante.
L : un tableau de variations ?
A : c'est une fonction du second degré (en montrant la dérivée).
Arthur a un programme sur sa calculatrice pour le second degré, il entre les valeurs de A, B et C.
A : c'est « plus » (le discriminant) donc il y a deux solutions.
Eloi demande de faire « racine carré rep » pour avoir la valeur de « racine carré de delta ».
E : ça donne un résultat bizarre car on a souvent des nombres entiers.
Sean conteste le calcul de la dérivée notamment la dérivée de t3, pour lui il faut élever au cube le coefficient ; discussion entre eux et il reconnaît son erreur, il confond multiplier par 3 avec élever au cube.
Le tableau de variations de la fonction P se construit : placement des zéros de P' mais les signes ne sont pas encore mis.
E : on veut le signe de P'.
A : on veut les variations de P'.
E : il faut étudier les variations de P'.
S : après avoir mis les signes de P' dans le tableau, ça fait convexe -concave- convexe.
A : si P' est négative elle est ???
E : il faut calculer la dérivée de la dérivée.
A : C'est « P prime - prime » (Arthur redouble). On fait quoi avec ça ?
E : on étudie le signe...
La synthèse tire parti de l'activité :
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les élèves restituent les définitions en exploitant la courbe de l'activité de la phase 2
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le cas de fonctions décroissantes est discuté
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le rôle de l'étude du signe de la dérivée seconde de la fonction est mis en évidence
