Le singe et la banane
Points forts
- Un contexte ludique et un résultat étonnant si ...
- Des élèves en dynamique de recherche
Mots clés
- trajectoires de points mobiles
- Primitives
- Trigonométrie
- Algorithme
Déroulement et documents
A ce stade de l'année les élèves ont étudié en Physique la mécanique et les lois de Newton et en mathématiques la notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle.
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Phase 1 : durée 30 minutes
Les élèves sont répartis en 4 types de groupes d'experts :
- deux groupes de 4 élèves travaillent sur la fiche 1, c'est à dire les équations horaires d'un point B ;
- deux groupes de 4 élèves travaillent sur la fiche 2, c'est à dire les équations horaire d'un point S ;
- 7 élèvent disposent d'un ordinateur et ont d'une part à implémenter un algorithme donné correspondant à la trajectoire de S en fonction du temps puis à mettre au point un algorithme correspondant à la trajectoire de B (dont on connait les coordonnées) ;
- deux groupes de 3 ou 4 élèves disposent d'un ordinateur et ont à analyser 5 vidéos donnant les trajectoires en fonction du temps de S et B selon différentes valeurs de la vitesse initiale de B (angle par rapport à l'horizontale, intensité).
Phase 2 : durée 50 minutes
Première étape
Les élèves forment des groupes de 4 avec un expert de chaque catégorie.
Ils échangent sur les travaux qu'ils ont effectués lors de la première phase. Chaque élève prend la parole.
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Deuxième étape
Le texte du problème est distribué aux élèves qui cherchent à y répondre en exploitant leurs expertises.
Synthèse : durée 20 minutes
Le professeur fait venir successivement au tableau deux groupes qui ont eu des approches différentes.
Les dix dernières minutes sont consacrées à la résistance de l'air qui a été négligée.
Un des professeurs présents lors de l'expérimentation montre au tableau les modifications à apporter aux algorithmes des trajectoires de B et S lorsque l'on tient compte de la résistance de l'air. Ces algorithmes exploitent la méthode d'Euler.
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Analyse a priori
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Phase 1
- Les élèves qui ont la fiche 1 ou la fiche 2 exploitent leurs connaissances sur la deuxième loi de Newton. Ils peuvent s’aider de leur livre de Physique ou de leurs notes de cours. On s'attend à ce que les élèves réussissent à déterminer les lois horaires et qu'ils profitent de ce moment pour s'expliquer mutuellement cette partie du programme de Physique.
S'il reste du temps les élèves ayant la fiche 1 peuvent déterminer une équation de la trajectoire et ceux ayant la fiche 2 rechercher les positions de S sur l'axe avec un pas de 1/10.
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- Les élèves qui exploitent le logiciel Casyopée doivent utiliser le module "créer une fonction par algorithme". Ils introduisent l'algorithme correspondant à la trajectoire de S qui est donné sur la fiche puis mettent au point l'algorithme de la trajectoire de B.
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mettre images avec le logiciel
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- Les élèves qui disposent des videos doivent interpréter et examiner les valeurs des deux paramètres : v0 et a.
Un tableau serait le bienvenu pour synthétiser les résultats.
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La valeur d'angle de 53° doit interpeller et les élèves peuvent chercher à l'interpréter connaissant les différentes longueurs.
Une vitesse minimale peut être conjecturée.
Phase 2
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Deuxième étape
Une procédure experte est donnée ci-contre.
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Des travaux d'élèves
Voici quelques travaux de groupes d'élèves qui donnent les deux procédures utilisées.
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Procédure 1
Dans l'exemple ci-contre, les élèves :
- ont annoté le dessin
- ont obtenu le résultat attendu avec la démarche prévue
- ont tenté de donner du sens au résultat trouvé
- ne se sont pas préoccupés de la vitesse v0
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Ci-dessous le travail de l'élève travaillant lors de la phase A avec les videos.
Procédure 2
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Dans l'exemple ci-contre, les élèves :
- ont annoté le dessin
- sont partis des conjectures effectuées en phase A par les groupes d'élèves disposant des videos
- ont tenté de vérifier ces conjectures en prenant pour hypothèse une valeur de vitesse initiale égale à 9 m/s
- travaillent avec des valeurs approchées ;
- n'ont pas cherché à tester d'autres vitesses initiales.
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La démarche adoptée n'était pas prévue a priori. Les calculs exacts auraient pu être menés.
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Ci-dessous le travail de l'élève travaillant lors de la phase A avec les videos.
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