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Le singe et la banane

Points forts

- Un contexte ludique et un résultat étonnant si ...

- Des élèves en dynamique de recherche

Mots clés

- trajectoires de points mobiles

- Primitives

- Trigonométrie

- Algorithme

Déroulement et documents

A ce stade de l'année les élèves ont étudié en Physique la mécanique et les lois de Newton et en mathématiques la notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle.

Phase 1 : durée 30 minutes

Les élèves sont répartis en 4 types de groupes d'experts :

- deux groupes de 4 élèves travaillent sur la fiche 1, c'est à dire les équations horaires d'un point B ;

- deux groupes de 4 élèves travaillent sur la fiche 2, c'est à dire les équations horaire d'un point S ;

- 7 élèvent disposent d'un ordinateur et ont d'une part à implémenter un algorithme donné correspondant à la trajectoire de S en fonction du temps puis à mettre au point un algorithme correspondant à la trajectoire de B (dont on connait les coordonnées) ;

- deux groupes de 3 ou 4 élèves disposent d'un ordinateur et ont à analyser 5 vidéos  donnant les trajectoires en fonction du temps de S et B selon différentes valeurs de la vitesse initiale de B (angle par rapport à l'horizontale, intensité).

Phase 2 : durée 50 minutes

Première étape

Les élèves forment des groupes de 4 avec un expert de chaque catégorie. 

Ils échangent sur les travaux qu'ils ont effectués lors de la première phase. Chaque élève prend la parole.

Deuxième étape 

Le texte du problème est distribué aux élèves qui cherchent à y répondre en exploitant leurs expertises.

Synthèse : durée 20 minutes

Le professeur fait venir successivement au tableau deux groupes qui ont eu des approches différentes.

Les dix dernières minutes sont consacrées à la résistance de l'air qui a été négligée.

Un des professeurs présents lors de l'expérimentation montre au tableau les modifications à apporter aux algorithmes des trajectoires de B et S lorsque l'on tient compte de la résistance de l'air. Ces algorithmes exploitent la méthode d'Euler.

Analyse a priori

Phase 1

- Les élèves qui ont la fiche 1 ou la fiche 2 exploitent leurs connaissances sur la deuxième loi de Newton. Ils peuvent s’aider de leur livre de Physique ou de leurs notes de cours. On s'attend à ce que les élèves réussissent à déterminer les lois horaires et qu'ils profitent de ce moment pour s'expliquer mutuellement cette partie du programme de Physique.

S'il reste du temps les élèves ayant la fiche 1 peuvent déterminer une équation de la trajectoire et ceux ayant la fiche 2 rechercher les positions de S sur l'axe avec un pas de 1/10.

- Les élèves qui exploitent le logiciel Casyopée doivent utiliser le module "créer une fonction par algorithme". Ils introduisent l'algorithme correspondant à la trajectoire de S qui est donné sur la fiche puis mettent au point l'algorithme de la trajectoire de B.

mettre images avec le logiciel

- Les élèves qui disposent des videos doivent interpréter et examiner les valeurs des deux paramètres : v0 et a.

Un tableau serait le bienvenu pour synthétiser les résultats.

La valeur d'angle de 53° doit interpeller et les élèves peuvent chercher à l'interpréter connaissant les différentes longueurs.

Une vitesse minimale peut être conjecturée.

 

Phase 2

Deuxième étape

Une procédure experte est donnée ci-contre.

 

Des travaux d'élèves

Voici quelques travaux de groupes d'élèves qui donnent les deux procédures utilisées.

Procédure 1

Dans l'exemple ci-contre, les élèves :

- ont annoté le dessin

- ont obtenu le résultat attendu avec la démarche prévue

- ont tenté de donner du sens au résultat trouvé

- ne se sont pas préoccupés de la vitesse v0

Ci-dessous le travail de l'élève travaillant lors de la phase A avec les videos.

Procédure 2 

Dans l'exemple ci-contre, les élèves :

- ont annoté le dessin

- sont partis des conjectures effectuées en phase A par les groupes d'élèves disposant des videos

- ont tenté de vérifier ces conjectures en prenant pour hypothèse une valeur de vitesse initiale égale à 9 m/s

- travaillent avec des valeurs approchées ;

- n'ont pas cherché à tester d'autres vitesses initiales.

La démarche adoptée n'était pas prévue a priori. Les calculs exacts auraient pu être menés.

Ci-dessous le travail de l'élève travaillant lors de la phase A avec les videos.


 

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