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Le singe et la banane

Points forts

- Un contexte ludique et un résultat étonnant si ...

- Des élèves en dynamique de recherche

Mots clés

- trajectoires de points mobiles

- Primitives

- Trigonométrie

- Algorithme

Déroulement et documents

A ce stade de l'année les élèves ont étudié en Physique la mécanique et les lois de Newton et en mathématiques la notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle.

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Phase 1 : durée 30 minutes

Les élèves sont répartis en 4 types de groupes d'experts :

- deux groupes de 4 élèves travaillent sur la fiche 1, c'est à dire les équations horaires d'un point B ;

- deux groupes de 4 élèves travaillent sur la fiche 2, c'est à dire les équations horaire d'un point S ;

- 7 élèvent disposent d'un ordinateur et ont d'une part à implémenter un algorithme donné correspondant à la trajectoire de S en fonction du temps puis à mettre au point un algorithme correspondant à la trajectoire de B (dont on connait les coordonnées) ;

- deux groupes de 3 ou 4 élèves disposent d'un ordinateur et ont à analyser 5 vidéos  donnant les trajectoires en fonction du temps de S et B selon différentes valeurs de la vitesse initiale de B (angle par rapport à l'horizontale, intensité).

Phase 2 : durée 50 minutes

Première étape

Les élèves forment des groupes de 4 avec un expert de chaque catégorie. 

Ils échangent sur les travaux qu'ils ont effectués lors de la première phase. Chaque élève prend la parole.

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Deuxième étape 

Le texte du problème est distribué aux élèves qui cherchent à y répondre en exploitant leurs expertises.

Synthèse : durée 20 minutes

Le professeur fait venir successivement au tableau deux groupes qui ont eu des approches différentes.

Les dix dernières minutes sont consacrées à la résistance de l'air qui a été négligée.

Un des professeurs présents lors de l'expérimentation montre au tableau les modifications à apporter aux algorithmes des trajectoires de B et S lorsque l'on tient compte de la résistance de l'air. Ces algorithmes exploitent la méthode d'Euler.

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Analyse a priori

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Phase 1

- Les élèves qui ont la fiche 1 ou la fiche 2 exploitent leurs connaissances sur la deuxième loi de Newton. Ils peuvent s’aider de leur livre de Physique ou de leurs notes de cours. On s'attend à ce que les élèves réussissent à déterminer les lois horaires et qu'ils profitent de ce moment pour s'expliquer mutuellement cette partie du programme de Physique.

S'il reste du temps les élèves ayant la fiche 1 peuvent déterminer une équation de la trajectoire et ceux ayant la fiche 2 rechercher les positions de S sur l'axe avec un pas de 1/10.

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- Les élèves qui exploitent le logiciel Casyopée doivent utiliser le module "créer une fonction par algorithme". Ils introduisent l'algorithme correspondant à la trajectoire de S qui est donné sur la fiche puis mettent au point l'algorithme de la trajectoire de B.

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mettre images avec le logiciel

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- Les élèves qui disposent des videos doivent interpréter et examiner les valeurs des deux paramètres : v0 et a.

Un tableau serait le bienvenu pour synthétiser les résultats.

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La valeur d'angle de 53° doit interpeller et les élèves peuvent chercher à l'interpréter connaissant les différentes longueurs.

Une vitesse minimale peut être conjecturée.

 

Phase 2

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Deuxième étape

Une procédure experte est donnée ci-contre.

 

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Des travaux d'élèves

Voici quelques travaux de groupes d'élèves qui donnent les deux procédures utilisées.

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Procédure 1

Dans l'exemple ci-contre, les élèves :

- ont annoté le dessin

- ont obtenu le résultat attendu avec la démarche prévue

- ont tenté de donner du sens au résultat trouvé

- ne se sont pas préoccupés de la vitesse v0

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Ci-dessous le travail de l'élève travaillant lors de la phase A avec les videos.

Procédure 2 

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Dans l'exemple ci-contre, les élèves :

- ont annoté le dessin

- sont partis des conjectures effectuées en phase A par les groupes d'élèves disposant des videos

- ont tenté de vérifier ces conjectures en prenant pour hypothèse une valeur de vitesse initiale égale à 9 m/s

- travaillent avec des valeurs approchées ;

- n'ont pas cherché à tester d'autres vitesses initiales.

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La démarche adoptée n'était pas prévue a priori. Les calculs exacts auraient pu être menés.

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Ci-dessous le travail de l'élève travaillant lors de la phase A avec les videos.

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